英語の current と present を辞書で意味を調べると、両方、「今の」とか「現在の」という訳が載っており、「いま」という意味では、実際に、同じように使われます。
I don't have her current/present situation.
彼女の現在の状況が分りません。
もし、違いをひとことで言うとすれば、 current が「だいたい今」とか「最近」というニュアンスで、 present が「ちょうど今」とか「現時点では」というニュアンスになります。
例えば、下記の例文では、「札幌に住んでいる遠距離恋愛の彼女が、今は、自分の住んでいる博多に来ている」みたいなニュアンスになります。
My girlfriend currently lives in Sapporo, but she's in Hakata at present .
札幌に住んでいる彼女が、いま博多にきてるんだ。
また、 at present も presently も副詞として機能し、 at present は常に「いま」（今現在に発生していること）を意味します。
一方の、 presently は will と一緒に使って（まだ起きてないけど）「すぐ」の意味を表現することができます。この場合、 soon とか right now と同じニュアンスになります。
Naomi will be here presently .
ナオミがすぐに来るよ
おまけですが、 present は英語の文法のいわゆる「現在形」を意味します。
例えば、単純な現在形であれば present simple と言い、「現在進行形」は present continuous 、「現在完了形」は present perfect と言います。
